هندسه کاشی‌کاری

ساناز فرهنگی

اگر بخواهید معنی کاشیکاری را بدانید و یک لغتنامه باز کنید، خواهید دید که نوشته است: "کاشیکاری یعنی کنار هم چیدن منظم قطعات کوچک به نحوی که شکل موزائیکی درست بشود. معادل این لغت در زبان انگلیسی Tessellate است که از واژه یونانی "Tessers" مشتق شده است. این کلمه عجیب و غریب هم یعنی "چهار". چون اولین کاشی ها، چهارگوش یا مربع بودند.

حتما همه شما کاشیکاریهای بسیار زیبای مساجد را دیده اید. آدم می تواند ساعتها در مسجد امام یا شیخ لطف الله اصفهان به کارش های کوچک نگاه کند و خسته نشود. اما آیا می دانید کاشیکاری چه ارتباط نزدیکی با هندسه دارد؟

قصه را باید از چند ضلعی های منتظم شروع کرد چون "کاشیکاری منتظم" به سطحی گفته می شود که تماماً از چند ضلعی های هم نهشت منتظم پوشیده شده باشد. حتماً به یاد دارید که منتظم بودن یعنی طول تمام ضلعها یکسان باشد و دو چند ضلعی هم نهشت آنهایی هستند که شکل و اندازه یکسانی دارند.

رابطه هندسه و کاشی از اینجا شروع می شود که در فضای اقلیدسی، یعنی همین فضای سه بعدی معمولی خودمان همه شکلهای منتظم نمی توانند سطوح را پوشش دهند. این خاصیت تنها در مثلث، مربع و شش ضلعی وجود دارد. ما نمی توانیم تمام صفحه را نشان بدهیم، چون همانطور که می دانید تا بی نهایت امتداد دارد؛ اما به شکلهای زیر دقت کنید و تصور کنید که آنها را از یک سطح کاشیکاری شده بریده ایم:
 

وقتی به این سه نمونه دقت می کنید به سادگی متوجه می شوید که کاشی های مربعی به ترتیب در پی هم چیده شده اند اما مثلثها و شش ضلعی ها این طور نیستند. انگار برای پوشاندن سطح، لازم بوده آنها را به سمت هم هل بدهند و در هم فرو کنند. در ضمن اگر هم زمان به 6 مثلث کنار هم نگاه کنید، یک شش ضلعی می بینید. چرا این طور است؟ برای جواب دادن به این سوال کمی با این ابزار بازی کنید. سعی کنید با چند ضلعی های منتظم سطحی را فرش کنید. آیا واقعا این کار با بعضی از آنها امکان پذیر نیست؟

با استفاده از دو علامت و می توانید نوع چند ضلعی را عوض کنید و با استفاده از کشیدن هر شکل به صفحه چپ می توانید شکل بسازید.

 حالا یک کار ساده انجام می دهیم. زوایای داخلی هر چند ضلعی منتظم را اندازه می گیریم و در این جدول می نویسیم:
 

تعداد اضلاع	اندازه زاویه داخلی (درجه)
3	60
4	90
5	108
6	120
7	5/128
8	135
9	140
10	144
11	150
.	.
.	.
n

رابطه اعداد این جدول با چند ضلعی هایی که سطح را می پوشانند چیست؟ آیا تعداد چند ضلعی های کاشی گون متناهی است؟

شرط پوشانده شدن صفحه این است که در هر رأس، یعنی در جایی که ضلع های کاشی های مختلف به هم می رسند، مجموع زوایای داخلی برابر 360 درجه باشد. پس تنها چند ضلعی هایی که زاویه داخلی آنها مقسوم علیه صحیح 360 درجه است، برای کاشی کاری مناسبند. از طرف دیگر با افزایش تعداد اضلاع، زاویه داخلی بزرگتر می شود پس برای پوشاندن سطح در یک رأس به کاشی های کمتری نیاز داریم. مثلاً اگر بخواهیم این کار را با 11 ضلعی انجام بدهیم، فقط به دو کاشی احتیاج داریم (چون نزدیکترین عدد صحیح زیر 360 بخش بر ، 15 ، عدد 2 است) اما اگر به شکل زیر نگاه کنید. به خاطر می آورید که این کار غیر ممکن است:

چون زاویه داخلی هیچ چند ضلعی ای نمی تواند بیشتر از 180 درجه باشد. پس تعداد چند ضلعی های کاشی گونی چندتاست؟ برای شمارش آنها انگشتان یک دستتان کافی است!

البته اگر کار در همین نقطه متوقف می شد، هنر شکلهای تکراری از حد پیراهن چهارخانه فراتر نمی رفت! نکته در این جاست که ما مجبور نیستیم فقط از یک نوع چند ضلعی منتظم برای کار، استفاده کنیم. ترکیب های زیادی از انواع چند ضلعی ها ممکن است. اما مطمئناً دیگر می دانید که همه آنها مناسب نیستند. بیایید قانون ریاضی این کار را پیدا کنیم.

برای حل این مسأله می توانیم اول تمام ترکیب های 3 تایی ممکن را پیدا کنیم. بعد، چهارتایی ها، پنج تایی ها و آنقدر ادامه بدهیم تا به این نتیجه برسیم که دیگر بیشتر از این تعداد، امکان ندارد.
به اشکال زیر دقت کنید. بعضی اوقات در اثبات ریاضی، شکل بیشتر از هر کلامی اثر دارد.
 

اگر همه شکلهایی را که به دست آوردیم، بشمارید 21 عدد می شود. اما در واقع فقط 17 ترکیب مختلف وجود دارد. چرا؟


حالا باید ببینیم کدام شکل ها قابلیت کاشی شدن دارند.
برای راحتی کار یک سیستم نامگذاری برای این اشکال معرفی می کنیم. بدیهی است که نقاط رأس مشترک پایه نامگذاری ما هستند.
 

1- ابتدا یک رأس مشترک را انتخاب می کنیم و کم ضلع ترین کاشی اطراف آن را پیدا می کنیم.

2- بیشترین تعداد تکرار این چند ضلعی را پیدا می کنیم.

3- بعد تعداد اضلاع این چند ضلعی را نشان می دهیم و به تعدادی که از آن وجود دارد، تکرار می کنیم. مثلاً 3.3 یعنی 2 مثلث.

4- در یک جهت (مثلأ جهت عقربه های ساعت، حرکت می کنیم و تعداد اضلاع چند ضلعی های بعدی را به ترتیب می نویسیم.

5- مشخصه اصلی کارشیکاری تکرار شدن الگوی واحد است. بنابراین شرطی که به ما کمک می کند، این است که در همه رأس ها به یک ترکیب چند ضلعی ها، برسیم. حالا شروع به امتحان اشکال کنید. این کار به سادگی ممکن است. فقط کافی است آنها را کپی کرده و در برنامه ای مثل Paint چندین بار Paste کنید و سعی کنید آنها را کنار هم بچینید.
 

   چند چند ضلعی مناسب برای کاشی پیدا کردید؟

خسته شدید؟ حالا بازی کنید!

با download کردن یکی از این نرم افزارها می توانید هر جور شکلی را که می خواهید بسازید و از آن کاشی یا کاغذ دیواری یا هر چیز دیگری درست کنید. نحوه کار با آنها مثل امکانات هر نرم افزار گرافیکی دیگری است. اما شاید بعد از بازی یا همین الان سوالی در ذهنتان باشد. اینکه چطور می شود از اشکال غیر هندسی الگوهای تکراری ساخت؟ خب باید تا دفعه بعد صبر کنید.